segundo semestre (matemáticas)

Ángulos

Los ángulos miden la cantidad de giro

Nombres de los ángulos

Según aumenta el ángulo, el nombre va cambiando

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

Cuidado con las medidas

Este ángulo es obtuso.	Este ángulo es reflejo.
Pero las líneas son las mismas... así que cuando midas y marques ángulos, ¡asegúrate de que sabes cuál de los ángulos necesitas!

Partes de un ángulo La esquina de un ángulo se llama vértice Y los lados rectos son rayos El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.

Marcar ángulos

Hay dos maneras comunes de marcar un ángulo: 1. dándole nombre, normalmente una letra minúscula como a o b, o a veces una letra griega como α (alfa) o θ (theta) 2. o con las tres letras que definen el ángulo, poniendo en medio la letra donde se encuentra (su vértice). Ejemplo: el ángulo "a" es "BAC", y el ángulo "θ" es "BCD" Grados (ángulos) Los ángulos se pueden medir en grados. Hay 360 grados en una vuelta completa (un círculo completo). (También se pueden medir ángulos en radianes) (Nota: "grados" también pueden ser de temperatura, pero aquí sólo hablamos de ángulos) El símbolo de grado: ° Se usa un pequeño círculo ° después del número para indicar grados. Por ejemplo 90° significa 90 grados Un grado Así de grande es 1 grado Un círculo completo Un cículo completo son 360° Medio círculo son 180° (esto se llama ángulo llano) Un cuarto de círculo son 90° (y se llama ángulo recto) ¿Por qué son 360? Probablemente porque antiguamente había calendarios (por ejemplo el persa) que tenían 360 días por año, así que cuando miraban las estrellas veían que giraban alrededor de la Estrella Polar un grado cada día. Midiendo grados Muchas veces medimos grados usando un transportador: Normalmente los transportadores miden ángulos de 0° a 180° También hay transportadores de vuelta completa. Pero no son tan comunes porque son grandes y no valen para nada especial. Ángulos suplementarios Dos angulos son suplementarios si suman 180 grados. Estos dos ángulos (140° y 40°) son ángulos suplementarios, porque suman 180°. Fíjate en que al ponerlos juntos tenemos un ángulo llano. Pero no hace falta que los ángulos estén juntos. Estos dos son suplementarios porque 60° + 120° = 180° Si dos ángulos suman 180°, decimos que se "suplementan". Suplementario viene del latín supplere, completar o "suplir" lo que se necesita. Escritura: presta atención, no es "ángulo suplimentario" (con "i") Nota: una idea relacionada son los ángulos complementarios, que suman 90° (¿Cómo recordar que complementarios son 90° y suplementarios son 180°? Por suerte la "C" va antes que la "S" en el abecedario y 90 va antes que 180. Así hago yo para acordarme.) Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados (un ángulo recto). Estos dos ángulos (40° y 50°) son ángulos complementarios, porque suman 90°. Fíjate en que juntos hacen un ángulo recto. Pero los ángulos no tienen por qué estar juntos. Estos dos son complementarios porque 27° + 63° = 90° Si los dos ángulos suman 90°, decimos que "se complementan". Complementario viene del latín completum que significa "completo"... porque un ángulo recto se consideraba un ángulo completo. Escritura: cuidado, no es "ángulos complimentarios" (con "i") Triángulo rectángulo En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios, porque hay 180° en un triángulo y el ángulo recto tiene 90°. Nota: otra idea relacionada son los ángulos suplementarios - los que suman 180°.   Ángulos interiores Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura. Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°. Ángulos exteriores Un ángulo exterior es un ángulo entre un lado de una figura y la línea que se extiende desde el lado siguiente. Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°. Ángulos sobre una línea recta Los ángulos a un lado de una línea recta siempre suman 180. Si dividimos una línea en dos y sabemos un ángulo podemos calcular el otro. Ejemplo: si sabemos que un ángulo es de 45° ¿cuánto es el ángulo "a" ? El ángulo a valdrá 180° − 45° = 135° Este método vale cuando hay varios ángulos en un lado de una línea recta. Ejemplo: ¿cuánto es el ángulo "b" ? En este diagrama el ángulo b es simplemente 180° menos la suma de los otros. Suma de los ángulos conocidos = 45° + 39° + 24° = 108° Ángulo b = 180° − 108° Ángulo b = 72°   Ángulos alrededor de un punto Los ángulos alrededor de un punto siempre suman 360 grados. Los ángulos de arriba suman 360° 140° + 87° + 53° + 80° = 360° Es por esto que si hay un ángulo que no conocemos siempre podemos calcularlo. Ejemplo: ¿cuánto es el ángulo "c"? Para calcular c tomamos la suma de los ángulos conocidos y restamos ese valor de 360° Suma de los ángulos conocidos = 110° + 75° + 50° + 63° Suma de los ángulos conocidos = 298° Ángulo c = 360° − 298° Ángulo c = 62° Líneas paralelas y pares de ángulos Líneas paralelas Dos líneas son paralelas cuando se mantienen siempre a la misma distancia (también se llaman "equidistantes"), y nunca se encuentran. Recuerda: Siempre a la misma distancia y nunca se encuentran. Las líneas roja y azul son paralelas en estos dos casos: Ejemplo 1 Ejemplo 2 Dos líneas paralelas apuntan en la misma dirección. Pares de ángulos Cuando un par de líneas paralelas se cruzan con otra línea (a la que se llama transversal), podemos ver que se forman muchos ángulos iguales, como en este ejemplo: Estos ángulos reciben nombres especiales por pares. Pulsa en cada nombre para que aparezcan resaltados: (Si no ves nada a la derecha, quizás tengas que instalar el Flash Player) Comprobar si dos líneas son paralelas Algunos de estos pares de ángulos se pueden usar para comprobar si dos líneas son paralelas de verdad: Si algún par de... Ejemplo: ángulos correspondientes son iguales, o a = e ángulos interiores alternos son iguales, o c = f ángulos exteriores alternos son iguales, o b = g ángulos interiores consecutivos suman 180° d + f = 180° ... entonces las líneas son paralelas Ejemplos Estas líneas son paralelas, porque un par de ángulos correspondientes son iguales. Estas líneas no son paralelas, porque hay un par de ángulos interiores consecutivos que no suman 180° (81° + 101° =182°) Estas líneas son paralelas porque un par de ángulos interiores alternos son iguales Transversales una transversal es una línea que cruza por lo menos otras dos líneas. La línea roja es transversal en todos estos ejemplos: Transversal que cruza dos líneas esta otra transversal cruza dos líneas paralelas. ... y esta cruza tres líneas   Ángulos interiores alternos Cuando dos líneas cruzan a otra (que se llama transversal), los pares de ángulos en lados opuestos de la transversal pero entre las líneas se llaman ángulos interiores alternos. En este ejemplo, son ángulos interiores alternos: c y f d y e (Para recordarlo mejor: los pares de ángulos en lados "alternos" de la transversal, y están en el "interior" de las líneas a las que cruza) Líneas paralelas Si las dos líneas que se cruzan son líneas paralelas, los ángulos interiores alternos son iguales. (Pulsa en "Ángulos interiores alternos" para que se resalten.) Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos opuestos por el vértice son los ángulos opuestos cuando se cruzan dos líneas En este ejemplo, a° y b° son ángulos opuestos por el vértice. Lo interesante es que ángulos opuestos son iguales: a° = b° (de hecho son congruentes) Ejemplo: calcula los ángulos a°, b° y c° siguientes Como b° es opuesto por el vértice a 40°, también mide 40° Un círculo completo son 360°, así que quedan 360° - 2×40° = 280° Los ángulos a° y c° también son opuestos por el vértice, así que miden 140° cada uno. Respuesta: a = 140°, b = 40° y c = 140°. Ángulos interiores consecutivos Cuando dos líneas cruzan a otra (que se llama transversal), los pares de ángulos a un lado de la transversal pero entre las líneas se llaman ángulos interiores consecutivos. En este ejemplo, son ángulos interiores consecutivos: c y e d y f Para recordarlo mejor: los pares de ángulos son "consecutivos" (uno a continuación del otro), y están en el "interior" de las dos líneas Líneas paralelas Si las dos líneas que se cruzan son líneas paralelas, los ángulos interiores consecutivos suman 180°. (Pulsa en "Ángulos interiores consecutivos" para que se resalten.) En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama polícoro. La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’. Aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados. La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a propósitos específicos. Los matemáticos a menudo les interesa solo la línea poligonal cerrada y los polígonos simples, los cuales no se intersecan por sí mismos, y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180º), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un lado único, sin embargo, matemáticamente, esos vértices podrían permitirse algunas veces. En el ámbito de la computación, la definición de polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que las figuras son almacenadas y manipuladas en la computación gráfica para la generación de imágenes. Línea poligonal Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue.[4] Un polígono está conformado por una línea poligonal, es decir el conjunto ordenado de segmentos, cerrada.[  Elementos de un polígono Hexágono regular. En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos: Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono. Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos. Diagonal (d): es el segmento que une dos vértices no continuos. Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono. Semiperímetro (SP): es la mitad perímetro. Ángulo interior (AI): es el ángulo formado internamente por dos lados consecutivos. Ángulo exterior (AE): es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. En un polígono regular se puede distinguir, además: Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados. Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado. Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado. Diagonales totales, , en un polígono de lados. [editar] Clasificación Clasificación de polígonos según el número de lados Nombre nº lados trígono, triángulo 3 tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero 4 pentágono 5 hexágono 6 heptágono 7 octógono u octágono 8 eneágono o nonágono 9 decágono 10 endecágono o undecágono 11 dodecágono 12 tridecágono 13 tetradecágono 14 pentadecágono 15 hexadecágono 16 heptadecágono 17 octodecágono 18 eneadecágono 19 isodecágono, icoságono 20 triacontágono 30 tetracontágono 40 pentacontágono 50 hexacontágono 60 heptacontágono 70 octocontágono 80 eneacontágono 90 hectágono 100 chiliágono 1000 miriágono 10 000 decemiriágono 100 000 hectamiriágono, megágono 1 000 000 apeirógono ∞ Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta, o bien por la forma de su contorno. Polígono Simple Convexo Regular Irregular Cóncavo Complejo [editar] Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan. Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es el que tiene todos sus ángulos menores que 180º. Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es el que tiene uno o varios ángulos mayores que 180º. Equilátero, si tiene todos sus lados iguales. Equiángulo, si tiene todos sus ángulos iguales. Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez. Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales. Ortogonal o isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos o .[6] Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano. Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc. Polígono simple, cóncavo e irregular. Polígono complejo, cóncavo e irregular. Polígono convexo y regular (equilátero y equiángulo). Polígono estrellado.   Radianes Los ángulos se pueden medir en grados o radianes. Un radián son 180/π grados, aproximadamente 57.296° Un radián es: el ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo: Así que un radián "marca" una longitud de circunferencia igual al radio. Hay 2π radianes en un círculo completo Es decir, si cortas trozos de cuerda de longitud exactamente igual a la distancia del centro del círculo hasta el borde, ¿cuántas te hacen falta para dar una vuelta alrededor? Respuesta: 2π, más o menos 6.28 trozos de cuerda. Los matemáticos prefieren los radianes Porque los radianes se basan en la idea abstracta de "el radio puesto a lo largo de la circunferencia", y esto da resultados simples y naturales en cuestiones de ángulos. Por ejemplo,, fíjate en la función seno para valores muy pequeños: x (Radianes) sin(x) sin(x)/x 1 0.8414710 0.8414710 0.1 0.0998334 0.9983342 0.01 0.0099998 0.9999833 0.001 0.0009999998 0.9999998 Cuando los valores son muy pequeños, ¡"x" y "sin(x)" valen casi lo mismo! Avanzado En radianes, cuando x se acerca a 0, sin(x)/x se acerca a 1. Usando "límites" se escribe: Te encontrarás otros ejemplos cuando vayas aprendiendo más matemáticas. Conclusión Los grados son más fáciles de usar en la vida diaria, pero los radianes son mejores en matemáticas.