Ángulos

Los ángulos miden la cantidad de giro

Nombres de los ángulos

Según aumenta el ángulo, el nombre va cambiando

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

Cuidado con las medidas


Este ángulo es obtuso.	Este ángulo es reflejo.

Pero las líneas son las mismas... así que cuando midas y marques ángulos, ¡asegúrate de que sabes cuál de los ángulos necesitas!

Partes de un ángulo

La esquina de un ángulo se llama vértice
Y los lados rectos son rayos
El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.

Marcar ángulos

Hay dos maneras comunes de marcar un ángulo:
1. dándole nombre, normalmente una letra minúscula como a o b, o a veces una letra griega como α (alfa) o θ (theta)
2. o con las tres letras que definen el ángulo, poniendo en medio la letra donde se encuentra (su vértice).
Ejemplo: el ángulo "a" es "BAC", y el ángulo "θ" es "BCD"

Ángulo

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Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).

«Ángulos» redirige aquí. Para la localidad de Argentina, véase Angulos.

Un ángulo positivo de 45°.

Ángulo de 1°
(amplitud de 1 grado sexagesimal).

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.^[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Índice

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[editar] Definición y características

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:

Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Regiones determinadas por los ángulos DPB, APD, APC y CPB.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Región angular

Se denomina región angular a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido un plano por dos rectas que se cortan. Estos ángulos se miden de acuerdo a su área similtudinal, es decir lo que mide realmente con Eudemo. Existen realmente diferentes ángulos llamados convexos y cóncavos se les llama así porque varia la medida del ángulo que se relacionan un poco con el ángulo recto, obtuso y sobre todo oblicuo.

Las unidades de medida de ángulos

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

[editar] Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.

Tipo	Descripción
Ángulo nulo	Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo	Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de $\frac{\pi}{2}$ rad.Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100^g (grados centesimales).
Ángulo recto	Un ángulo recto es de amplitud igual a $\frac{\pi}{2}$ radEs equivalente a 90° sexagesimales (o 100^g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso	Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a $\frac{\pi}{2}$ rad y menor a $\pi\,$ radMayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo llano, extendido o colineal	El ángulo llano tiene una amplitud de $\pi \,$ radEquivalente a 180° sexagesimales (o 200^g centesimales).
Ángulo oblicuo	Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo o perigonal	Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de $2\pi\,$ radEquivalente a 360° sexagesimales (o 400^g centesimales).

[editar] Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):^[1]

Tipo	Descripción
Ángulo convexo o saliente	Es el que mide menos de $\pi\,$ rad.Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0^g y menos de 200^g centesimales).
Ángulo cóncavo, reflejo o entrante	Es el que mide más de $\pi\,$ rad y menos de $2 \pi\,$ rad.Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200^g y menos de 400^g centesimales).

[editar] Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,
ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,
ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan:

ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,
ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,
ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,
ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

[editar] Ángulos de un polígono

En función de su posición, se denominan:

ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.
ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

[editar] Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Trisección del ángulo

Artículo principal: Trisección del ángulo.

La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.

Ángulos tridimensionales

El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

[editar] Coordenadas angulares tridimensionales

Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

[editar] Ángulos en un espacio vectorial

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores $\langle\cdot,\cdot\rangle$ , se define el ángulo formado por dos vectores no nulos $x$ e $y$ mediante la expresión:
$\angle(x,y)=\arccos\frac{\langle x, y \rangle}{\|x\|\cdot\|y\|},$
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo $(-1,1)$ debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo $[0,\pi]$ (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:

Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.
Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.
Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados $x$ e $y$ no nulos,
$\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\cdot\|y\|\cdot\cos\angle(x,y)$

[editar] Galería de ángulos


$0^{\circ} \,$	$15^{\circ} \,$	$30^{\circ} \,$	$45^{\circ} \,$	$60^{\circ} \,$	$75^{\circ} \,$

$90^{\circ} \,$	$105^{\circ} \,$	$120^{\circ} \,$	$135^{\circ} \,$	$150^{\circ} \,$	$165^{\circ} \,$

$180^{\circ} \,$	$195^{\circ} \,$	$210^{\circ} \,$	$225^{\circ} \,$	$240^{\circ} \,$	$255^{\circ} \,$

$270^{\circ} \,$	$285^{\circ} \,$	$300^{\circ} \,$	$315^{\circ} \,$	$330^{\circ} \,$	$345^{\circ} \,$

$360^{\circ} \,$

[editar] Véase también

Teorema del seno

Ejemplo

Resolver un triángulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30º

- Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados, colocamos los datos conocidos y resolvemos. Resolver un triángulo es decir lo que valen sus 3 ángulos y sus 3 lados.

Teorema del coseno

Ejemplo

Resolver un triángulo con los datos siguientes: a = 1200 m, c= 700 m y B = 108º

- Dibujamos el triángulo, nos dan 2 lados y el ángulo que forman, calculamos el lado b

Aplicaciones de estos teoremas para calcular distancias desconocidas

Calcular una altura desconocida a cuyo pie no se puede llegar

Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles

Problemas de aplicación

Actividades interactivas

> Resolver triángulos. Colocas los datos que te dan y obtienes los que faltan.

Teoremas de Trigonometría

Teorema de los senos

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Teorema del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Teorema de las tangentes

Funciones trigonométricas

La trigonometría es el estudio de la relación entre los lados y los ángulos del triángulo rectángulo. Muchas aplicaciones de la trigonometría dependen de esta relación. A estas relaciones las denominamos funciones trigonométricas.

Sea el triángulo ABC un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el vértice C. Sus lados a y b son sus catetos y el lado c la hipotenusa. Cada ángulo, en el triángulo tiene un lado opuesto, lado de frente al ángulo, y un lado adyacente, lado que forma parte del ángulo en cuestión.

De la forma en que ha sido configurado el triángulo en este ejemplo, el vértice A tiene al cateto a como lado opuesto y al cateto b como lado adyacente. De igual forma el vértice B tiene al cateto b como lado opuesto y al cateto a como lado adyacente. Los lados opuestos y adyacentes se intercambian entre sí para los dos ángulos que no son el ángulo recto en el triángulo rectángulo.

En el caso del ángulo recto, hay que notar que tiene como lado opuesto a la hipotenusa y no tiene lado adyacente. El identificar los lados opuestos y adyacentes respecto a un ángulo es sumamente importante a la hora de definir las funciones trigonométricas. En esta unidad solamente definiremos las tres funciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Estas son las convenientes y utilizadas en Física para resolver problemas. Estas son:

Ejemplos
Seno
Se define la función seno (sen) de un ángulo como la proporción que existe entre el lado opuesto y la hipotenusa. Matemáticamente esta proporción se expresa como:

Donde el símbolo θse utiliza para denotar el ángulo que estaremos considarando.

Observa la figura de la izquierda. En ella hay un triángulo con unas cantidades medidas. Sea el ángulo igual a 30° y su lado opuesto igual a 5 cm y la hipotenusa igual a 10 cm, entonces el seno de 30° es:

El procedimiento para calcular el seno sería:

Los valores de las funciones trigonométricas no tienen unidades ya que se cancelan. También son independientes del tamaño del triángulo. El seno de 30° siempre es igual a 0.5. El triángulo que mejor nos muestra esta relación es:

Coseno

La función coseno (cos) se define como la proporción entre el lado adyacente y la hipotenusa. Esta función se expresa como:

Sea el ángulo igual a 45° y su lado opuesto igual a 7 cm y la hipotenusa igual a 10 cm, entonces el coseno de 45° es:

Puedes notar que se utilizó la función de

esta se lee "coseno inverso" pero su significado es el el recíproco de la función lo cual representa un número que nos da el ángulo correspondiente. Puedes usar la calculadora para obtener el resultado. El triángulo básico que mejor nos muestra esta relación es:

Tangente

La función tangente se define como la proporción entre el lado opuesto y el adyacente. Esta función se expresa como:

Sea el ángulo igual a 60° y su lado opuesto igual a 8 cm y el adyacente igual a 4.62 cm, entonces la tangente de 60° es:

Puedes usar la calculadora para revisar los cálculos aquí demostrados y sustituir otras cantidades en los ejemplos demostrados. El mejor triángulo que representa la situación del ejemplo es:

*Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

* De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

* Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º

Definición de Estadística

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

Recogida de datos.

Organización y representación de datos.

Análisis de datos.

Obtención de conclusiones.

Conceptos de Estadística

Población

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

Individuo

Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

Muestra

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

Muestreo

El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.

Valor

Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

Dato

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

Definición de variable

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

Tipos de variable estadísticas

Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden. Por ejemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticascon ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo:

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo:

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Distribución de frecuencias

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Tipos de frecuencias

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por f_i.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n_i.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valorconsiderado.

Se representa por F_i.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

Ejemplo

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

x_i	Recuento	f_i	F_i	n_i	N_i
27	I	1	1	0.032	0.032
28	II	2	3	0.065	0.097
29		6	9	0.194	0.290
30		7	16	0.226	0.516
31		8	24	0.258	0.774
32	III	3	27	0.097	0.871
33	III	3	30	0.097	0.968
34	I	1	31	0.032	1
		31		1

Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna sufrecuencia correspondiente.

Límites de la clase

Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Construcción de una tabla de datos agrupados

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1º Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.

2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos establecer.

Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.

En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

	c_i	f_i	F_i	n_i	N_i
[0, 5)	2.5	1	1	0.025	0.025
[5, 10)	7.5	1	2	0.025	0.050
[10, 15)	12.5	3	5	0.075	0.125
[15, 20)	17.5	3	8	0.075	0.200
[20, 25)	22.5	3	11	0.075	0.275
[25, 30)	27.5	6	17	0.150	0.425
[30, 35)	32.5	7	24	0.175	0.600
[35, 40)	37.5	10	34	0.250	0.850
[40, 45)	42.5	4	38	0.100	0.950
[45, 50)	47.5	2	40	0.050	1
		40		1

Diagrama de barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Ejemplo

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguíneo	f_i
A	6
B	4
AB	1
0	9
	20

Polígonos de frecuencia

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

Ejemplo

Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

Hora	Temperatura
6	7º
9	12°
12	14°
15	11°
18	12°
21	10°
24	8°

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absolutacorrespondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Ejemplo

En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

	Alumnos	Ángulo
Baloncesto	12	144°
Natación	3	36°
Fútbol	9	108°
Sin deporte	6	72°
Total	30	360°

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado enclases.

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, lafrecuencia absoluta de cada intervalo.

La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Polígono de frecuencia

Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo.

Ejemplo

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

	c_i	f_i	F_i
[50, 60)	55	8	8
[60, 70)	65	10	18
[70, 80)	75	16	34
[80, 90)	85	14	48
[90, 100)	95	10	58
[100, 110)	105	5	63
[110, 120)	115	2	65
		65

Histograma y polígono de frecuencias acumuladas

Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.

Histogramas con intervalos de amplitud diferente

Para construir un histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos que calcular las alturas de los rectángulos del histograma.

h_i es la altura del intervalo.

f_i es la frecuencia del intervalo.

a_i es la amplitud del intervalo.

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.

	f_i	h_i
[0, 5)	15	3
[5, 7)	20	10
[7, 9)	12	6
[9, 10)	3	3
	50

Histogramas con intervalos de amplitud diferente

Definición de parámetro estadístico

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.

Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.

Tipos de parámetros estadísticos

Hay tres tipos parámetros estadísticos:

De centralización.

De posición

De dispersión.

Medidas de centralización

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

La medidas de centralización son:

Media aritmética

La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana

La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda

La moda es el valor que más se repite en una distribución.

Medidas de posición

Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

La medidas de posición son:

Cuartiles

Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.

Deciles

Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Percentiles

Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.

Las medidas de dispersión son:

Rango o recorrido

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.

Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Definición de moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por M_o_.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M_o= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución esbimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9M_o= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

L_i es el límite inferior de la clase modal.

f_i es la frecuencia absoluta de la clase modal.

f_i--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.

f_i-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

a_i es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

Ejemplo

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	f_i
[60, 63)	5
[63, 66)	18
[66, 69)	42
[69, 72)	27
[72, 75)	8
	100

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

	f_i	h_i
[0, 5)	15	3
[5, 7)	20	10
[7, 9)	12	6
[9, 10)	3	3
	50

Definición de mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por M_e_.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

es la semisuma de las frecuencias absolutas.

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a_i es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	f_i	F_i
[60, 63)	5	5
[63, 66)	18	23
[66, 69)	42	65
[69, 72)	27	92
[72, 75)	8	100
	100

100/2 = 50

Clase de la mediana: [66, 69)

Definición de media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

es el símbolo de la media aritmética.

Ejemplo

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

	x_i	f_i	x_i · f_i
[10, 20)	15	1	15
[20, 30)	25	8	200
[30,40)	35	10	350
[40, 50)	45	9	405
[50, 60	55	8	440
[60,70)	65	4	260
[70, 80)	75	2	150
		42	1 820

Propiedades de la media aritmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual acero.

La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dichonúmero.

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.

4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

	x_i	f_i
[60, 63)	61.5	5
[63, 66)	64.5	18
[66, 69)	67.5	42
[69, 72)	70.5	27
[72, ∞ )		8
		100

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.

Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Q₁, Q₂ y Q₃ determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

Q₂ coincide con la mediana.

Cálculo de los cuartiles

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión

Número impar de datos

2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

Número par de datos

2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra

, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.

a_i es la amplitud de la clase.

Ejercicio de cuartiles

Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

	f_i	F_i
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del segundo cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D₅ coincide con la mediana.

Cálculo de los deciles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra

, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..

a_i es la amplitud de la clase.

Ejercicio de deciles

Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

	f_i	F_i
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Cálculo del primer decil

Cálculo del segundo decil

Cálculo del tercer decil

Cálculo del cuarto decil

Cálculo del quinto decil

Cálculo del sexto decil

Cálculo del séptimo decil

Cálculo del octavo decil

Cálculo del noveno decil

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P₅₀ coincide con la mediana.

Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra

, en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.

a_i es la amplitud de la clase.

Ejercicio de percentiles

Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

	f_i	F_i
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Percentil 35

Percentil 60

La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

D_i = |x - x|

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por

Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

	x_i	f_i	x_i· f_i	\|x - x\|	\|x - x\| · f_i
[10, 15)	12.5	3	37.5	9.286	27.858
[15, 20)	17.5	5	87.5	4.286	21.43
[20, 25)	22.5	7	157.5	0.714	4.998
[25, 30)	27.5	4	110	5.714	22.856
[30, 35)	32.5	2	65	10.714	21.428
		21	457.5		98.57

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Ejercicios de varianza

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

Propiedades de la varianza

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular lavarianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la varianza

1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por σ.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación típica para datos agrupados

Ejercicios de desviación típica

Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60)	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

Propiedades de la desviación típica

1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dichonúmero.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la desviación típica

1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.

3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:

El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias seanpositivas.

Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.

La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.

Ejercicio

Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?

La primera distribución presenta mayor dispersión.

Puntuaciones típicas

Puntuaciones diferenciales

Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética.

x_i= X_i − X

Puntuaciones típicas

Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.

Las puntuaciones típicas se representan por z.

Observaciones sobre puntuaciones típicas

La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0.

La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1.

Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas.

Las puntuaciones típicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones.

Ejemplo

En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 52.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso?

José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.

1. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

1 Comida Favorita.

2 Profesión que te gusta.

3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.

4 Número de alumnos de tu Instituto.

5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.

6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

3 Período de duración de un automóvil.

4 El diámetro de las ruedas de varios coches.

5 Número de hijos de 50 familias.

6 Censo anual de los españoles.

3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.

1 La nacionalidad de una persona.

2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.

3 Número de libros en un estante de librería.

4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.

5 La profesión de una persona.

6 El área de las distintas baldosas de un edificio.

4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.

5. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

7. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso	[50, 60)	[60, 70)	[70, 80)	[80,90)	[90, 100)	[100, 110)	[110, 120)
f_i	8	10	16	14	10	5	2

1 Construir la tabla de frecuencias.

2 Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

8. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física.

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1 Construir la tabla de frecuencias.

2 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

9. Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

x_i	61	64	67	70	73
f_i	5	18	42	27	8

Calcular:

1 La moda, mediana y media.

2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

10.Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

11 Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

12 Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.

13. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

14 Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

	f_i
[38, 44)	7
[44, 50)	8
[50, 56)	15
[56, 62)	25
[62, 68)	18
[68, 74)	9
[74, 80)	6

Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.

15. Dadas las series estadísticas:

3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.

3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

Calcular:

La moda, la mediana y la media.

La desviación media, la varianza y la desviación típica.

Los cuartiles 1º y 3º.

Los deciles 2º y 7º.

Los percentiles 32 y 85.

16. Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

	[10, 15)	[15, 20)	[20, 25)	[25, 30)	[30, 35)
f_i	3	5	7	4	2

Hallar:

La moda, mediana y media.

El rango, desviación media y varianza.

Los cuartiles 1º y 3º.

Los deciles 3º y 6º.

Los percentiles 30 y 70.

17. Dada la distribución estadística:

	[0, 5)	[5, 10)	[10, 15)	[15, 20)	[20, 25)	[25, ∞)
f_i	3	5	7	8	2	6

Calcular:

La mediana y moda.

Cuartil 2º y 3º.

Media.

1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral.

Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es unaexperiencia aleatoria.

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios.

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llamaespacio muestral.

Ejemplos:

En un dado, E={1,2,3,4,5,6}

En una moneda, E={C,+}

Ejercicio 1-1:
Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

Lanzar tres monedas.
Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

Solución:

Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:
E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
E={BB,BN,NN}

Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

2. Sucesos. Operaciones con sucesos.

2.1. Sucesos.

En el Ejercicio 1.1 del capítulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:

Salir múltiplo de 5:	A={5,10,15}
Salir número primo:	C={2,3,5,7,11,13,17}
Salir mayor o igual que 12:	D={12,13,14,15,16,17,18}

Todos estos subconjuntos del espacio muestral E los llamamos sucesos.

Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

Los elementos de E se llaman sucesos individuales o sucesos elementales.

También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio E,suceso seguro.

Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S.

Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2ⁿ.

Ejemplos:

{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales.
En un dado hay 2⁶ = 64 sucesos.
En una moneda hay 2² = 4 sucesos, que son: Ø, {C},{+}, {C,+}
Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}}

jueves, 6 de junio de 2013

Ángulos

Nombres de los ángulos

Según aumenta el ángulo, el nombre va cambiando

Cuidado con las medidas

Partes de un ángulo

Marcar ángulos

Ángulo

Índice

[editar] Definición y características

Las unidades de medida de ángulos

[editar] Clasificación de ángulos

[editar] Ángulos convexo y cóncavo

[editar] Ángulos relacionados

[editar] Ángulos de un polígono

[editar] Ángulos respecto de una circunferencia

Trisección del ángulo

Ángulos tridimensionales

[editar] Coordenadas angulares tridimensionales

[editar] Ángulos en un espacio vectorial

[editar] Galería de ángulos

[editar] Véase también

Teorema del seno

Ejemplo

Teorema del coseno

Ejemplo

Aplicaciones de estos teoremas para calcular distancias desconocidas

Calcular una altura desconocida a cuyo pie no se puede llegar

Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles

Problemas de aplicación

Actividades interactivas

Teoremas de Trigonometría

Teorema de los senos

Teorema del coseno

Teorema de las tangentes

Definición de Estadística

Conceptos de Estadística

Población

Individuo

Muestra

Muestreo

Valor

Dato

Definición de variable

Tipos de variable estadísticas

Variable cualitativa

Variable cualitativa nominal

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Variable cuantitativa

Variable discreta

Variable continua

Distribución de frecuencias

Tipos de frecuencias

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa acumulada

Ejemplo

Distribución de frecuencias agrupadas

Límites de la clase

Amplitud de la clase

Marca de clase

Construcción de una tabla de datos agrupados

Diagrama de barras

Ejemplo

Polígonos de frecuencia

Ejemplo

Ejemplo

Polígono de frecuencia

Ejemplo

Histograma y polígono de frecuencias acumuladas

Histogramas con intervalos de amplitud diferente

Ejemplo

Definición de parámetro estadístico

Tipos de parámetros estadísticos

Medidas de centralización

Medidas de posición

Medidas de dispersión

Rango o recorrido

Definición de moda